Система линейных уравнений:
x1 + x2 + x3 = 3 (уравнение 1)
x1 + 4×2 + x3 = 6 (уравнение 2)
x1 + x2 + 4×3 = 0 (уравнение 3)
Шаг 1: Докажем совместимость системы. Для этого рассмотрим расширенную матрицу коэффициентов системы:
[1 1 1 | 3]
[1 4 1 | 6]
[1 1 4 | 0]
Приведём матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса:
[1 1 1 | 3]
[0 3 0 | 3]
[0 0 3 | -9]
Шаг 2: Разделим вторую строку на 3:
[1 1 1 | 3]
[0 1 0 | 1]
[0 0 3 | -9]
Шаг 3: Из второй строки вычтем первую, умноженную на 1:
[1 0 1 | 2]
[0 1 0 | 1]
[0 0 3 | -9]
Шаг 4: Из первой строки вычтем третью, умноженную на 1:
[1 0 0 | 11]
[0 1 0 | 1]
[0 0 3 | -9]
Шаг 5: Разделим третью строку на 3:
[1 0 0 | 11]
[0 1 0 | 1]
[0 0 1 | -3]
Получили ступенчатый вид расширенной матрицы.
Шаг 6: Обратим преобразования для самой матрицы:
[ 1 0 0 11]
[ 0 1 0 1]
[ 0 0 1 -3]
Получили решение системы: x1 = 11, x2 = 1, x3 = -3.
Теперь перейдем ко второму способу решения, с помощью матричного исчисления.
Матрица коэффициентов системы имеет вид:
A = [1 1 1]
[1 4 1]
[1 1 4]
Вектор-столбец свободных членов:
B = [3]
[6]
[0]
Матрица неизвестных:
X = [x1]
[x2]
[x3]
Уравнение системы можно записать в виде матричного уравнения X = A^-1 * B.
Вычислим обратную матрицу для матрицы коэффициентов A:
A^-1 = (1/det(A)) * adj(A), где det(A) – определитель матрицы A, adj(A) – присоединенная матрица к A.
Вычислим определитель матрицы A:
det(A) = 1*(4*4 – 1*1) – 1*(1*4 – 1*1) + 1*(1*1 – 1*4) = 9
Вычислим присоединенную матрицу A:
adj(A) = [4 -1 -1]
[-1 3 -1]
[-1 -1 3]
Теперь найдем обратную матрицу:
A^-1 = (1/9) * [4 -1 -1]
[-1 3 -1]
[-1 -1 3]
Умножим обратную матрицу на вектор-столбец свободных членов B:
X = A^-1 * B = (1/9) * [4 -1 -1] * [3] = [11]
[1]
[-3]
Таким образом, получили решение системы: x1 = 11, x2 = 1, x3 = -3.
Оба способа решения привели к одному и тому же результату, что подтверждает правильность решения.