Для доказательства того, что векторы а, б, с образуют базис, нам нужно показать, что эти векторы линейно независимы и что они охватывают всё пространство.
1) Докажем линейную независимость векторов а, б, с. Для этого предположим, что существуют такие коэффициенты a, b, c, что a*а + b*б + c*с = 0, где 0 – нулевой вектор. Это эквивалентно системе линейных уравнений:
1*a – 3*b + 1*c = 0
4*a + 0*b – 1*c = 0
1*a + 2*b + 2*c = 0
Решив эту систему уравнений, получим, что a = 0, b = 0 и c = 0. Таким образом, векторы а, б, с линейно независимы.
2) Докажем, что векторы а, б, с охватывают всё пространство. Для этого рассмотрим произвольный вектор x = (-9;-8;-3) и найдем такие коэффициенты aj, bj и cj, что x = aj*а + bj*б + cj*с. Решив систему линейных уравнений:
1*aj – 3*bj + 1*cj = -9
4*aj + 0*bj – 1*cj = -8
1*aj + 2*bj + 2*cj = -3
Получим, что aj = 1, bj = -1 и cj = 5. Значит, вектор x может быть представлен в виде x = а – б + 5с.
Таким образом, векторы а, б, с действительно образуют базис, так как они линейно независимы и охватывают всё пространство.
Чтобы найти координаты векторов x в базисе а, б, с, нужно представить вектор x как линейную комбинацию векторов а, б, с и найти коэффициенты этой комбинации.
x = а – б + 5с
Координаты вектора x в базисе а, б, с будут (1, -1, 5).