Для того, чтобы показать, что векторы a, b, c образуют базис, нужно проверить, что они линейно независимы и охватывают всё пространство.
1. Для проверки линейной независимости составим матрицу из векторов a, b, c и приведем ее к ступенчатому виду:
[2 6 8]
[3 -6 8]
[3 5 -1]
Применим элементарные преобразования строк к матрице:
[2 6 8]
[0 -24 -16]
[0 0 -40]
Получили ступенчатый вид, у которого есть ненулевые строки. Это означает, что векторы a, b, c линейно независимы.
2. Чтобы проверить, что векторы a, b, c охватывают всё пространство, найдем их ранг. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в матрице в ступенчатом виде. В данном случае ранг равен 3, что означает, что векторы a, b, c охватывают всё пространство.
Таким образом, векторы a, b, c образуют базис.
3. Чтобы найти координаты вектора d в этом базисе, необходимо решить систему линейных уравнений:
2x + 6y + 8z = 16
3x – 6y + 8z = 5
3x + 5y – z = 7
Запишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:
[2 6 8 | 16]
[3 -6 8 | 5]
[3 5 -1 | 7]
Применим элементарные преобразования строк к матрице:
[2 6 8 | 16]
[0 -24 -16 | -23]
[0 0 -40 | -31]
Из последней строки получаем z = 31/40. Подставим это значение во вторую строку:
-24y – 16*(31/40) = -23
-24y = -23 + (16*(31/40)) = -23 + 31/5 = -18/5
y = (-18/5) / -24 = 3/40
И, наконец, найдем x в первой строке:
2x + 6*(3/40) + 8*(31/40) = 16
2x + 9/20 + 31/5 = 16
2x = 320/20 – 9/20 – 31/5 = 316/20 – 31/5 = 285/20 = 57/4
x = (57/4) / 2 = 57/8
Таким образом, координаты вектора d в базисе a, b, c равны: x = 57/8, y = 3/40, z = 31/40.