Пары векторов, образующие базис на плоскости, должны быть линейно независимыми и охватывать всю плоскость.
Для проверки линейной независимости пары векторов находим их определитель. Пусть даны два вектора a(3;-2) и b(6;4). Образуем из них матрицу:
| 3 6 |
|-2 4 |
Вычисляем определитель:
(3 * 4) – (6 * -2) = 12 + 12 = 24
Значение определителя не равно 0, значит, пара векторов a(3;-2) и b(6;4) является линейно независимой.
Теперь проверим, охватывают ли они всю плоскость. Для этого возьмем третий вектор c(-3;-2) и попробуем их выразить через a и b. Решаем систему уравнений:
3a + 6b = -3c
-2a + 4b = -2c
Путем решения этой системы уравнений приходим к выводу, что уравнения не имеют решений, т.е. вектор c(-3;-2) не может быть выражен через векторы a и b. Значит, пара векторов a(3;-2) и b(6;4) охватывает всю плоскость.
Таким образом, пара векторов a(3;-2) и b(6;4) образует базис на плоскости.