Доказательство данного утверждения будет проведено с использованием неполной индукции.
Шаг 1: База индукции.
При n=1 левая и правая части равенства выглядят следующим образом:
1 = 1².
Таким образом, базовый случай верен.
Шаг 2: Индукционное предположение.
Предположим, что равенство верно для некоторого k, то есть
1+3+5+…+(2k-1) = k².
Шаг 3: Индукционный переход.
Докажем, что равенство верно и для k+1, то есть
1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1) = (k+1)².
Раскроем скобки в левой части равенства и воспользуемся предположением индукции:
1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1) = k² + (2(k+1)-1).
Упростим выражение:
k² + (2(k+1)-1) = k² + 2k+2-1 = k² + 2k + 1 = (k+1)².
Таким образом, равенство верно и для k+1.
Итак, мы показали, что равенство верно для базового случая и что из его верности следует верность для следующего случая. Следовательно, по принципу неполной индукции, равенство 1+3+5+…+(2n-1) = n² доказано для всех натуральных чисел n.