Мы должны доказать, что сумма квадратов нечётных чисел от 1 до (2n-1) равна n² при помощи неполной индукции.
Шаг 1: Базис индукции (n=1)
Для n=1 левая и правая части равны:
1 = 1, что является верным утверждением.
Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что утверждение верно для некоторого k, то есть:
1 + 3 + 5 + … + (2k-1)² = k²
Шаг 3: Доказательство для k+1
Рассмотрим левую часть для k+1:
1 + 3 + 5 + … + (2k-1)² + (2(k+1)-1)²
Мы можем рассматривать (2(k+1)-1)² как (2k+1)², так как они равны.
Тогда, левая часть становится:
1 + 3 + 5 + … + (2k-1)² + (2k+1)²
Мы можем представить сумму как сумму для k плюс (2k+1)²:
k² + (2k+1)²
Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:
k² + 4k² + 4k + 1
Объединяем квадраты:
5k² + 4k + 1
По предположению индукции знаем, что 1 + 3 + 5 + … + (2k-1)² = k². Значит, левая часть равна k². Поэтому можем использовать этот результат:
k² + 4k + 1 = k² + 4k + 1 = (k+1)²
Таким образом, мы доказали, что утверждение верно для k+1.
Шаг 4: Заключение
Мы доказали, что если утверждение верно для некоторого k, то оно верно и для k+1. Базис индукции уже был доказан в шаге 1. Следовательно, утверждение верно для всех натуральных чисел n.
Мы доказали, что 1+3+5+…+(2n-1)² = n² при помощи неполной индукции.