Для данной задачи мы будем использовать метод математической индукции, чтобы доказать, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.
Шаг 1: Базовый случай
Для n = 1:
12 = (-1)1-1 * 1(1 + 1) / 2 = 1
Утверждение верно для n = 1.
Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что утверждение верно для некоторого k, где k ∈ N:
12 – 22 + 32 – . . . + (-1)k-1k2 = (-1)k-1k(k + 1) / 2
Шаг 3: Доказательство для n = k + 1
Докажем, что утверждение верно для n = k + 1:
12 – 22 + 32 – . . . + (-1)k-1k2 + (-1)k(k + 1)2 = (-1)k-1k(k + 1) / 2 + (-1)k(k + 1)2
Сначала рассмотрим второе слагаемое:
(-1)k(k + 1)2 = (-1)k-1k(k + 1) / 2 * (k + 1)2
= (-1)k-1k(k + 1) / 2 * (k2 + 2k + 1)
= (-1)k-1k(k + 1) / 2 * (k(k + 1) + (k + 1))
= (-1)k-1k(k + 1) / 2 * (k(k + 1) / 2 + (k + 1))
Теперь объединим два слагаемых:
(-1)k-1k(k + 1) / 2 + (-1)k-1k(k + 1) / 2 * (k(k + 1) / 2 + (k + 1))
= (-1)k-1k(k + 1) / 2 * (1 + (k(k + 1) / 2 + (k + 1)))
= (-1)k-1k(k + 1) / 2 * ((k(k + 1) + 2(k + 1)) / 2)
= (-1)k-1k(k + 1) / 2 * ((k2 + 3k + 2) / 2)
= (-1)k-1k(k + 1) / 2 * ((k + 1)(k + 2) / 2)
= (-1)k-1k(k + 1) / 2 * ((-1)k+1(k + 1)((k + 1) + 1) / 2)
= (-1)k+1(k + 1)((k + 1) + 1) / 2
Мы получили верное утверждение для n = k + 1, следовательно, утверждение верно для всех натуральных чисел n.
Таким образом, мы доказали, что для всех n ∈ N выполнено равенство:
12 – 22 + 32 – . . . + (-1)n-1n2 = (-1)n-1n(n + 1) / 2