Доказательство проведем методом математической индукции.
Шаг 1: Докажем, что утверждение верно для n = 1.
Подставим n = 1 в уравнение:
1 · 2^1 = (1 – 1) · 2^(1+1) + 2
2 = 0 + 2
2 = 2
Утверждение верно для n = 1.
Шаг 2: Предположим, что утверждение верно для некоторого k, то есть
1 · 2^1 + 2 · 2^2 + 3 · 2^3 + … + k · 2^k = (k – 1) · 2^(k+1) + 2
Шаг 3: Докажем, что утверждение верно для n = k + 1.
Подставим n = k + 1 в уравнение:
1 · 2^1 + 2 · 2^2 + 3 · 2^3 + … + k · 2^k + (k + 1) · 2^(k + 1)
Мы можем разделить это расширенное уравнение на две части:
1 · 2^1 + 2 · 2^2 + 3 · 2^3 + … + k · 2^k и (k + 1) · 2^(k + 1)
1 · 2^1 + 2 · 2^2 + 3 · 2^3 + … + k · 2^k может быть заменено по предположению индукции на (k – 1) · 2^(k + 1) + 2
Тогда получим:
(k – 1) · 2^(k + 1) + 2 + (k + 1) · 2^(k + 1)
Раскрываем скобки:
(k – 1) · 2^(k + 1) + 2 + k · 2^(k + 1) + 2^(k + 1)
Объединяя подобные слагаемые:
k · 2^(k + 1) + (k – 1) · 2^(k + 1) + 2 + 2^(k + 1)
Раскрываем скобки и объединяем подобные слагаемые:
(k + 1) · 2^(k + 1) + 2
Это и есть исходное уравнение для n = k + 1.
Таким образом, утверждение верно для всех положительных целых n по индукции.