Для доказательства того, что последовательность {an} сходится к a = -1/2, нужно найти такое натуральное число N, начиная с которого все элементы последовательности находятся в пределах выбранной окрестности e (то есть |an – a| < e) для любого положительного числа e. Шаги решения: 1. Запишем формулу для an: an = n/(1-2n). 2. Рассмотрим неравенство |an - a| < e и заменим an и a на их значения: |n/(1-2n) - (-1/2)| < e. 3. Приведем выражение к общему знаменателю: |2n/(1-2n) + 1/2| < e. 4. Упростим числитель и заменим 2n на 2(n+1)-2: |2(n+1)-2/(1-2(n+1)+2) + 1/2| < e. 5. Приведем выражение к общему знаменателю еще раз: |2(n+1)-2 + 1/2| < e. 6. Упростим числитель: |2n + 2 - 2 + 1/2| < e. 7. Сократим числитель и приведем к общему знаменателю: |2n +1/2| < e. 8. Используем неравенство треугольника: |2n| + |1/2| < e. 9. Сократим дробную часть: |2n| + 1/2 < e. 10. Отбросим положительные значения модулей и перепишем неравенство: 2n < e - 1/2. 11. Разделим обе части на 2: n < (e-1/2)/2. 12. Возьмем целую часть от правой части: n < ⌊(e-1/2)/2⌋. 13. Выберем натуральное число N, большее ⌊(e-1/2)/2⌋. 14. Тогда для всех n ≥ N будет выполняться неравенство n < ⌊(e-1/2)/2⌋, а значит, |an - a| < e. Таким образом, мы нашли натуральное число N, начиная с которого все элементы последовательности {an} находятся в пределах выбранной окрестности e для любого положительного числа e. Это доказывает, что последовательность сходится к a = -1/2.
