На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Допустим, у нас есть два преобразования A и B, каждое из которых состоит из гомотетии, поворота и параллельного переноса, причем они выполняются последовательно. Нужно доказать, что эти два преобразования можно заменить одним преобразованием того же типа.
Предположим, что преобразование A состоит из гомотетии с коэффициентом масштабирования kA, поворота на угол аA вокруг центра O и параллельного переноса на вектор vA. Аналогично, преобразование B состоит из гомотетии с коэффициентом масштабирования kB, поворота на угол аB вокруг центра O и параллельного переноса на вектор vB.
Мы хотим найти такие значения k, а и v, что их преобразование будет эквивалентно применению A, а затем B. Предположим, что преобразование C состоит из гомотетии с коэффициентом масштабирования k, поворота на угол а вокруг центра O и параллельного переноса на вектор v.
Теперь, если мы применим преобразование C к точке P, получим следующее:
C(P) = k(R(а(•(P-v)))),
где R(а) – это матрица поворота на угол а и • это операция суммирования элементов.
Последовательное применение преобразований A и B к точке P даст нам:
A(B(P)) = kA(R(аA(•(P-vA)))) + kB(R(аB(•(P-vB)))).
Чтобы преобразования A(B(P)) и C(P) были эквивалентны, необходимо, чтобы угол поворота и коэффициент масштабирования в обоих выражениях были равными, то есть
аA = аB = а и kA=kB=k.
Это означает, что все повороты и гомотетии получаются вокруг одного и того же центра O и на одинаковый угол и масштабирование. Также параллельные переносы выполняются на один и тот же вектор v.
Таким образом, мы доказали, что последовательное выполнение двух преобразований А и В можно заменить одним преобразованием того же типа.
Шаги решения:
1. Предполагаем, что преобразования A и B состоят из гомотетии, поворота и параллельного переноса.
2. Предполагаем, что преобразование C также состоит из гомотетии, поворота и параллельного переноса.
3. Используем символы k, а и v для обозначения коэффициентов масштабирования, углов поворота и векторов для каждого преобразования.
4. Запишем формулы для преобразования C и преобразования A(B(P)).
5. Приравняем коэффициенты масштабирования и углы поворота в обоих выражениях.
6. Докажем, что все повороты и гомотетии получаются вокруг одного и того же центра O и на одинаковый угол и масштабирование.
7. Докажем, что параллельные переносы выполняются на один и тот же вектор v.
8. Таким образом, мы доказали, что последовательное выполнение двух преобразований А и В можно заменить одним преобразованием того же типа.
