Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать метод интегрирования по частям.
Шаг 1: Запишем заданный интеграл:
∫x*e^(-x) dx
Шаг 2: Применим формулу интегрирования по частям:
∫u dv = uv – ∫v du
В нашем случае выберем u = x и dv = e^(-x) dx.
Тогда du = dx и v = -e^(-x).
Шаг 3: Применим формулу интегрирования по частям:
∫x*e^(-x) dx = -x*e^(-x) – ∫-e^(-x) dx
Шаг 4: Упростим полученное выражение:
∫x*e^(-x) dx = -x*e^(-x) + ∫e^(-x) dx
Шаг 5: Проинтегрируем ∫e^(-x) dx:
∫e^(-x) dx = -e^(-x)
Подставим это значение обратно в предыдущее выражение:
∫x*e^(-x) dx = -x*e^(-x) – (-e^(-x))
Шаг 6: Упростим полученное уравнение:
∫x*e^(-x) dx = -x*e^(-x) + e^(-x)
Шаг 7: В результате получаем окончательный ответ:
∫x*e^(-x) dx = (-x + 1) * e^(-x) + C, где C – константа интегрирования.