Для решения данного интеграла, мы можем использовать формулу интегрирования по частям.
Интеграл ∫[0,1]c(x+1)^8dx можно переписать в виде ∫[0,1]c(x+1)(x+1)^7dx.
Затем, мы можем применить формулу интегрирования по частям:
∫u*dv = uv – ∫v*du,
где u = (x+1), а dv = (x+1)^7dx.
Теперь, давайте найдем производные:
du = dx, и v = (1/8)(x+1)^8.
Применим формулу интегрирования по частям:
∫[0,1]c(x+1)(x+1)^7dx = (1/8)(x+1)^8*c∣[0,1] – ∫[0,1](1/8)(x+1)^8*dx.
Вычислим первое слагаемое в правой части:
(1/8)(1+1)^8*c – (1/8)(0+1)^8*c = (1/8)*2^8*c – (1/8)*c = (1/4)*c – (1/8)*c = (2/8)*c – (1/8)*c = (1/8)*c.
Теперь у нас остался только один интеграл:
∫[0,1](1/8)(x+1)^8*dx.
Мы можем упростить его, раскрыв используя бином Ньютона:
(1/8)∫[0,1](x^8 + 8x^7 + 28x^6 + 56x^5 + 70x^4 + 56x^3 + 28x^2 + 8x +1)dx.
∫[0,1]x^8dx + 8∫[0,1]x^7dx + 28∫[0,1]x^6dx + 56∫[0,1]x^5dx + 70∫[0,1]x^4dx + 56∫[0,1]x^3dx + 28∫[0,1]x^2dx + 8∫[0,1]xdx + ∫[0,1]dx.
Интеграл ∫x^n dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C, где C – константа интегрирования.
Теперь подставим границы интегрирования:
[(1/9)*x^9]∣[0,1] + [(8/8)*(1/8)*x^8]∣[0,1] + [(28/7)*(1/7)*x^7]∣[0,1] + [(56/6)*(1/6)*x^6]∣[0,1] + [(70/5)*(1/5)*x^5]∣[0,1] + [(56/4)*(1/4)*x^4]∣[0,1] + [(28/3)*(1/3)*x^3]∣[0,1] + [(8/2)*(1/2)*x^2]∣[0,1] + [1*x]∣[0,1].
Теперь подставим границы интегрирования:
[(1/9)*(1)^9 – (1/9)*(0)^9] + [(8/9)*(1)^9 – (8/9)*(0)^9] + [(28/9)*(1)^9 – (28/9)*(0)^9] + [(56/9)*(1)^9 – (56/9)*(0)^9] + [(70/9)*(1)^9 – (70/9)*(0)^9] + [(56/9)*(1)^9 – (56/9)*(0)^9] + [(28/9)*(1)^9 – (28/9)*(0)^9] + [(8/9)*(1)^9 – (8/9)*(0)^9] + [1*(1) – 1(0)].
Вычислим каждое слагаемое:
(1/9) – 0 + (8/9) – 0 + (28/9) – 0 + (56/9) – 0 + (70/9) – 0 + (56/9) – 0 + (28/9) – 0 + (8/9) – 0 + 1 – 0.
Сложим все слагаемые:
1/9 + 8/9 + 28/9 + 56/9 + 70/9 + 56/9 + 28/9 + 8/9 + 1.
Упростим дроби:
(1+8+28+56+70+56+28+8+9)/9 + 1.
Вычислим числитель:
264/9 + 1.
Упростим дробь, сделав общий знаменатель:
(264 + 9)/9.
(273/9) + 1.
30 + 1.
31.
Итак, итоговое значение интеграла равно 31.