Для начала, найдем производную функции y = x^3 – 3x^2 – x + 3:
y’ = 3x^2 – 6x – 1.
Теперь найдем корни производной, чтобы определить экстремумы функции:
3x^2 – 6x – 1 = 0.
Применим квадратное уравнение:
x = (-(-6) ± √((-6)^2 – 4*3*(-1))) / (2*3)
= (6 ± √(36 + 12)) / 6
= (6 ± √48) / 6
= (6 ± 4√3) / 6
= 1 ± (2/√3).
Таким образом, корни производной: x1 = 1 + (2/√3) и x2 = 1 – (2/√3).
Мы можем увидеть, что первая производная равна нулю два раза, что говорит о наличии двух экстремумов у функции.
Теперь найдем вторую производную для определения типа экстремума.
y” = 6x – 6.
Подставим значения найденных корней производной:
y”(1 + (2/√3)) = 6(1 + (2/√3)) – 6 = 6 + 12/√3 – 6 = 12/√3.
y”(1 – (2/√3)) = 6(1 – (2/√3)) – 6 = 6 – 12/√3 – 6 = -12/√3.
Поскольку вторая производная отрицательна при x = 1 + (2/√3) и положительна при x = 1 – (2/√3), мы можем сделать вывод, что у нашей функции есть локальный максимум в точке x = 1 + (2/√3) и локальный минимум в точке x = 1 – (2/√3).
Теперь построим график функции y = x^3 – 3x^2 – x + 3.
Мы знаем, что у функции есть два экстремума и она пересекает ось ординат в точке (0, 3). Поэтому важно изначально определить поведение функции вне экстремумов.
Подставим некоторые значения x, чтобы получить соответствующие значения y:
x = -2: y = (-2)^3 – 3(-2)^2 – (-2) + 3 = -7.
x = -1: y = (-1)^3 – 3(-1)^2 – (-1) + 3 = 2.
x = 2: y = 2^3 – 3(2)^2 – 2 + 3 = -5.
Используя все эти данные, мы можем построить график функции y = x^3 – 3x^2 – x + 3.