Для исследования функции на экстремумы, мы должны найти ее производную и найти значения аргументов, где производная равна нулю или не существует.
1. Найдем производную функции y=x^4-8x^2+6 с помощью правила дифференцирования степенной функции:
y’ = 4x^3 – 16x.
2. Чтобы найти точки, в которых производная равна нулю, решим уравнение y’ = 0:
4x^3 – 16x = 0.
Раскладывая это уравнение на множители и решая каждый из них, мы получаем:
x = 0 (кратность 2) или x = 2.
3. Теперь найдем значения функции в найденных точках и дополнительных точках:
y(0) = 6, y(2) = -2.
Таким образом, имеем точки экстремума: (0, 6) – локальный минимум и (2, -2) – локальный максимум.
4. Для исследования функции на выпуклость и вогнутость, найдем вторую производную:
y” = 12x^2 – 16.
5. Теперь найдем точки, где вторая производная равна нулю или не существует:
12x^2 – 16 = 0.
Решая это уравнение, мы получаем:
x^2 = 4/3.
Это уравнение имеет два решения: x = 2/√3 и x = -2/√3.
6. Подставим найденные точки второй производной и проверим знаки:
y”(2/√3) = 12(2/√3)^2 – 16 = -16/3 < 0.
y''(-2/√3) = 12(-2/√3)^2 - 16 = -16/3 < 0.
7. Таким образом, функция y=x^4-8x^2+6 является выпуклой в интервале (-∞, -2/√3) и (2/√3, +∞) и вогнутой в интервале (-2/√3, 2/√3).
Итак, функция имеет локальный минимум в точке (0, 6) и локальный максимум в точке (2, -2). Она также является выпуклой в интервалах (-∞, -2/√3) и (2/√3, +∞) и вогнутой в интервале (-2/√3, 2/√3).