Для начала, нам известно, что векторы а, b и с линейно независимы. Это значит, что ни один из них не может быть выражен линейной комбинацией остальных векторов.
Затем, нам нужно выяснить, при каком значении параметра P векторы Ра + с, а – Pb – с и a + Pb становятся линейно зависимыми.
Оказывается, что векторы будут линейно зависимыми, когда они будут коллинеарными, то есть лежат на одной прямой.
Теперь, чтобы найти значение параметра P, мы можем задать условие коллинеарности между этими векторами.
Для векторов Ра + с и а – Рb – с, можно записать следующее уравнение:
Р(а – b) = -2с
Заметим, что если векторы а – b и с коллинеарны, то и вектора Р(а – b) и -2с будут коллинеарными. Значит, можно опустить их из рассмотрения и записать следующее уравнение:
Р = -2
Теперь, для векторов а + Pb и а – Рb – с, можно записать следующее уравнение:
а + Рb = а – Рb – с
Как мы видим, вектор а и -с сокращаются, а векторы b и -b складываются:
Рb = 0
Очевидно, что данное уравнение будет выполняться при любом значении параметра P.
Таким образом, векторы Ра + с, а – Pb – с и а + Pb будут линейно зависимыми, когда Р = -2. При любом другом значении параметра P, эти векторы останутся линейно независимыми.