Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 64, подставим значение 64 вместо x и вычислим полученное выражение. Ответ будет являться значением предела, если это выражение существует.
lim┬(x→64)〖(√x-8)/(∛x-4)〗 = (√64 – 8)/(∛64 – 4) = (8 – 8)/(4 – 4) = 0/0
Заметим, что получили неопределенность вида 0/0. Чтобы решить такую неопределенность, нам нужно привести выражение к более удобному виду. В данном случае, мы можем воспользоваться факторизацией разности кубов.
∛64 – 4 = (∛64 – ∛4)(∛64^2 + ∛64∛4 + ∛4^2) = (4 – ∛4)(16 + 4∛4 + ∛4^2) = (4 – ∛4)(16 + 4∛4 + 4)
Теперь можем выразить исходное выражение через новую формулу:
lim┬(x→64)〖(√x-8)/(∛x-4)〗 = 0/[(4 – ∛4)(16 + 4∛4 + 4)]
Заметим, что числитель равен 0, поэтому предел будет равен 0, независимо от значения знаменателя (который не равен нулю, так как в знаменателе не содержится переменных). Таким образом, ответ на задачу равен 0.