Дано уравнение: log2√2 16x = 4.
Начнем с выражения под логарифмом: √2 16x.
Мы можем упростить это выражение, раскрыв разложение в степень √2 = (2)^(1/2) и 16 = (2^4): (2)^(1/2) * (2^4)^x = 4.
Теперь мы можем применить свойства степеней, умножая экспоненты: 2^(1/2) * 2^(4x) = 4.
Так как основание у нас одинаковое (2), мы можем просуммировать экспоненты: 2^(1/2 + 4x) = 4.
Далее, чтобы избавиться от логарифма и найти значение x, мы возведем обе стороны уравнения в степень 2: (2^(1/2 + 4x))^2 = (4)^2.
Теперь мы можем упростить выражение: 2^(2(1/2 + 4x)) = 16.
Применяя свойства степеней, раскроем скобки внутри экспоненты: 2^(2/2 + 8x) = 16.
Упрощая выражение в скобках: 2^(1 + 8x) = 16.
Далее, мы замечаем, что 16 можно записать как степень 2: 2^4 = 2^(1 + 8x).
Сравнивая обе стороны уравнения, мы можем сопоставить экспоненты: 1 + 8x = 4.
Вычитаем 1 из обеих сторон уравнения: 8x = 3.
Делим обе стороны на 8: x = 3/8.
Таким образом, решение уравнения log2√2 16x = 4 равно x = 3/8.