Для решения данной линейной системы методом приведения строк следует переписать систему уравнений в матричной форме:
[1 1 1] [x1] = [8]
[5 2 4] [x2] = [14]
[3 -2 1] [x3] = [12]
Теперь нам нужно привести матрицу к ступенчатому виду. Для этого применим элементарные преобразования строк.
Шаг 1: Вычтем из строки 2 строку 1, умноженную на 5:
[1 1 1] [x1] = [8]
[0 -3 -1] [x2] = [14 – 8*5 = -22]
[3 -2 1] [x3] = [12]
Шаг 2: Вычтем из строки 3 строку 1, умноженную на 3:
[1 1 1] [x1] = [8]
[0 -3 -1] [x2] = [ -22]
[0 -5 -2] [x3] = [12 – 8*3 = -12]
Шаг 3: Умножим строку 2 на -1/3, чтобы получить ведущий элемент -1:
[1 1 1] [x1] = [8]
[0 1 1/3] [x2] = [22/3]
[0 -5 -2] [x3] = [-12]
Шаг 4: Вычтем из строки 3 строку 2, умноженную на -5:
[1 1 1] [x1] = [8]
[0 1 1/3] [x2] = [22/3]
[0 0 -7/3] [x3] = [-12 + 5*(22/3) = 2/3]
Шаг 5: Разделим строку 3 на -7/3, чтобы получить ведущий элемент -1:
[1 1 1] [x1] = [8]
[0 1 1/3] [x2] = [22/3]
[0 0 1] [x3] = [-(2/3)/(7/3) = -2/7]
Шаг 6: Вычтем из строки 2 строку 3, умноженную на 1/3:
[1 1 1] [x1] = [8]
[0 1 0] [x2] = [22/3 – (1/3)*(-2/7) = 24/7]
[0 0 1] [x3] = [-2/7]
Шаг 7: Вычтем из строки 1 строку 3 и вычтем из строки 2 строку 3:
[1 1 0] [x1] = [8 – (-2/7) = 58/7]
[0 1 0] [x2] = [24/7 – (-2/7)*(1/3) = 26/7]
[0 0 1] [x3] = [-2/7]
Таким образом, решение системы уравнений состоит из x1 = 58/7, x2 = 26/7 и x3 = -2/7.