Для решения этой задачи нужно использовать метод цилиндров или метод дисков, который основан на интегрировании элементарных дисков или цилиндров.
1. Найдите точки пересечения кривой y = (x^1/2)*e^x с осями Oх и Oу:
Подставив y = 0, получим x^1/2 * e^x = 0.
Из этого следует, что x = 0 и x = 1.
Таким образом, интервал интегрирования для переменной x будет от 0 до 1.
2. Запишите формулу для объема элементарного диска или цилиндра:
В данном случае, объем элементарного диска будет равен pi * (y^2) * dx.
3. Запишите функцию, описывающую кривую графика y = (x^1/2)*e^x:
f(x) = (x^1/2) * e^x.
4. Запишите формулу для объема фигуры, полученной вращением кривой y = (x^1/2)*e^x вокруг оси Ох используя метод дисков:
V = ∫[0,1] pi * (f(x)^2) * dx.
5. Проинтегрируйте выражение из пункта 4 от 0 до 1:
V = ∫[0,1] pi * ((x^1/2) * e^x)^2 * dx.
6. Упростите выражение и проинтегрируйте:
V = pi * ∫[0,1] (x * e^(2x)) dx.
7. Решите определенный интеграл:
V = pi * [ x^2 * e^(2x) / 2 ] [0,1] = pi * (1/2 * e^2 – 0) = pi/2 * e^2.
Таким образом, объем фигуры, полученной вращением кривой y = (x^1/2)*e^x вокруг оси Ох, ограниченной линиями y = 0, x = 1, равен pi/2 * e^2.