Находим координаты точек S, A, B и C:
Пусть точка S имеет координаты (0, 0, 0). Тогда точка A имеет координаты (4, 0, 0), точка B имеет координаты (2, 2√2, 0) и точка C имеет координаты (2, √2, 2√3).
Пусть точка M имеет координаты (x, y, z). Тогда вектор AM имеет компоненты (x-4, y, z), вектор BM – (x-2, y-2√2, z) и вектор CM – (x-2, y-√2, z-2√3).
Запишем условие, что SМ:МС = 1:3:
|(x-4, y, z)| / |(x-2, y-√2, z-2√3)| = 1/3
Перейдем к квадратам и раскроем модули:
((x-4)^2 + y^2 + z^2) / ((x-2)^2 + (y-√2)^2 + (z-2√3)^2) = 1/9
Упростим выражение:
9((x-4)^2 + y^2 + z^2) = (x-2)^2 + (y-√2)^2 + (z-2√3)^2
Раскроем скобки:
9(x^2 – 8x + 16 + y^2 + z^2) = x^2 – 4x + 4 + y^2 + 2 – 2√2y + 2√3z – 4x + 4 – 4√2y + 8z + y^2 + 2 – 2√2y + 2√3z
Упростим выражение:
9x^2 – 72x + 144 + 9y^2 + 9z^2 = x^2 – 8x + 4 + y^2 – 8√2y + 18z – 4√2y + 16z + y^2 + 4 + 12√2yz + 18z^2
Далее группируем по переменным:
8x^2 – 64x + 128 + 9y^2 – 8√2y + 9z^2 + 36√2yz = 0
Теперь переходим к плоскости АМВ. Нормальный вектор этой плоскости можно найти как векторное произведение векторов АМ и АВ:
n = (x-4, y, z) x (2, 2√2, 2√3)
= (2√2z + 4y – 2y√2, 4z – 2z√3 – 2(x-4), 4(x-4) – 2√2(x-2) – 2√3y)
Точка А находится в плоскости АМВ, поэтому подставим координаты точки А в уравнение плоскости и получим уравнение плоскости:
2√2z + 4y – 2y√2 – 4z + 2z√3 + 2x – 8 + 2√2x – 4√3y = 0
Раскроем скобки и упростим:
(2√2 – 4)z + (2 – 2√2 + 2√3)x + (4 – 4√3)y – 8 = 0
Таким образом, расстояние от точки S до плоскости АМВ равно |8| / sqrt((2√2 – 4)^2 + (2 – 2√2 + 2√3)^2 + (4 – 4√3)^2).