Чтобы найти обратную матрицу к данной матрице, мы можем воспользоваться методом Гаусса-Жордана или методом нахождения алгебраического дополнения.
1. Метод Гаусса-Жордана:
– Создадим расширенную матрицу, добавив к данной матрице единичную матрицу того же порядка:
(3, 2, 4 | 1, 0, 0 | 1, 0, 0)
(-3, 0, -2 | 0, 1, 0 | 0, 1, 0)
(2, 1, 2 | 0, 0, 1 | 0, 0, 1)
– Произведем элементарные преобразования, чтобы получить на верхнем левом углу единичную матрицу:
(1, 0, 0 | 1/20, -1/10, -1/10 | 1/20, -1/10, -1/10)
(0, 1, 0 | 1/15, -1/10, -2/15 | 1/15, -1/10, -2/15)
(0, 0, 1 | -1/15, 2/5, 7/15 | -1/15, 2/5, 7/15)
– Правая часть расширенной матрицы – искомая обратная матрица:
(1/20, -1/10, -1/10)
(1/15, -1/10, -2/15)
(-1/15, 2/5, 7/15)
– Ответ: обратная матрица равна (1/20, -1/10, -1/10; 1/15, -1/10, -2/15; -1/15, 2/5, 7/15).
2. Метод алгебраического дополнения:
– Найдем определитель данной матрицы: det(A) = 3*(0*(-2) – (-2)*1) – 2*(-3*(-2) – 1*1) + 4*(-3*1 – 0*2) = 6 – 8 + (-12) = -14.
– Так как определитель не равен нулю, матрица является обратимой.
– Найдем матрицу алгебраических дополнений Adj(A), заменив каждый элемент матрицы на соответствующее алгебраическое дополнение:
(0*(-2) – (-2)*1, -(-3*(-2) – 1*1), -(-3*1 – 0*2))
(-(-3*(-2) – 1*1), 3*(-2) – 4*1, 4*(-3) – 2*1)
(-(-3*1 – 0*2), 2*1 – 4*1, 3*3 – 2*0)
(2, 1, 2)
(-5, -2, -10)
(-3, -2, 9)
– Транспонируем матрицу алгебраических дополнений:
(2, -5, -3)
(1, -2, -2)
(2, -10, 9)
– Одержим обратную матрицу, разделив транспонированную матрицу алгебраических дополнений на определитель:
(2/(-14), -5/(-14), -3/(-14))
(1/(-14), -2/(-14), -2/(-14))
(2/(-14), -10/(-14), 9/(-14))
(-1/7, 5/7, 3/7)
(-1/14, 1/7, 1/7)
(-1/7, 5/7, 9/14)
– Ответ: обратная матрица равна (-1/7, 5/7, 3/7; -1/14, 1/7, 1/7; -1/7, 5/7, 9/14).
Таким образом, мы получили два разных способа нахождения обратной матрицы к данной матрице.