Рассмотрим данную функцию y = 3^(x+1) • (x+2)^2. Чтобы найти ее производную, воспользуемся правилами дифференцирования.
1. Применим правило дифференцирования произведения функций:
(y • u)’ = y’ • u + y • u’,
где y – первая функция, u – вторая функция, y’ – производная первой функции, u’ – производная второй функции.
2. Продифференцируем первую функцию y = 3^(x+1):
y’ = (3^(x+1))’ = (e^(ln(3^(x+1))))’,
где e – основание натурального логарифма.
3. Раскроем скобки и продифференцируем каждый член:
ln(y)’ = [(x+1) • ln(3)]’,
4. Производная натурального логарифма ln(x) равна 1/x, поэтому:
ln(y)’ = (x+1) • ln(3).
5. Теперь продифференцируем вторую функцию u = (x+2)^2. Используем правило дифференцирования степенной функции:
u’ = 2 • (x+2) • (x+2)’ = 2 • (x+2) • 1 = 2(x+2).
6. Теперь, с помощью правила дифференцирования произведения функций, соединим результаты двух дифференцирований:
(y • u)’ = y’ • u + y • u’,
(y • (x+2)^2)’ = (x+1) • ln(3) • (x+2)^2 + 3^(x+1) • 2(x+2),
7. В итоге получаем производную функции y=3^(x+1)•(x+2)^2:
y’ = (x+1) • ln(3) • (x+2)^2 + 3^(x+1) • 2(x+2).
Это и есть искомая производная функции.