Для начала, раскроем выражения в числителе и знаменателе:
y = (4 + 3x^3) / (x * (2 + x^3)^(2/3))
Теперь упростим выражение:
y = (4 + 3x^3) / (x * (2 + x^3)^(2/3))
= (4 + 3x^3) / (x * (2 + x^3^(2/3))^2)
= (4 + 3x^3) / (x * (2 + x^(2/3))^2)
Затем используем правило производной для деления двух функций:
d(u/v)/dx = (v * du/dx – u * dv/dx) / v^2
Применим это правило к нашей функции:
dy/dx = ((2 + x^(2/3))^2 * (3 * (x^3)’ – (4 + 3x^3)’ * (x^(2/3))’) / (x * (2 + x^(2/3))^2)^2
Теперь найдем производные:
dy/dx = ((2 + x^(2/3))^2 * (3 * 3x^2 – (4 + 3x^3) * (2/3) * x^(-1/3))) / (x * (2 + x^(2/3))^2)^2
После дальнейших упрощений, получим окончательный ответ:
dy/dx = (6x – 8x^(4/3) – 12x^(7/3)) / (x^2 * (2 + x^(2/3))^3)
Таким образом, производная функции y равна (6x – 8x^(4/3) – 12x^(7/3)) / (x^2 * (2 + x^(2/3))^3).