Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x – 4, необходимо найти экстремумы функции и проверить их на экстремумы. Для этого выполним следующие шаги:
Шаг 1: Найдем производную функции f(x). Производная позволит нам найти точки, в которых функция меняет свой рост и убывание.
f'(x) = 3x^2 – 12x + 9
Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю, решив уравнение f'(x) = 0.
3x^2 – 12x + 9 = 0
Шаг 3: Решим уравнение. Для этого можно воспользоваться факторизацией или квадратным уравнением.
(3x – 3)(x – 3) = 0
Отсюда получаем два решения: x1 = 1 и x2 = 3.
Шаг 4: Проверим точки x1 = 1 и x2 = 3 на экстремумы, используя вторую производную. Если f”(x1) > 0, то x1 – точка минимума. Если f”(x2) < 0, то x2 - точка максимума. f''(x) = 6x - 12 f''(x1) = 6(1) - 12 = -6 < 0 f''(x2) = 6(3) - 12 = 6 > 0
Шаг 5: Подставим найденные значения экстремумов x1 = 1 и x2 = 3 в исходную функцию для определения значений f(x) в этих точках.
f(1) = 1^3 – 6(1)^2 + 9(1) – 4 = 0
f(3) = 3^3 – 6(3)^2 + 9(3) – 4 = 14
Таким образом, наименьшее значение функции f(x) равно 0, а наибольшее значение равно 14.
Ответ: Наименьшее значение функции f(x) = 0, а наибольшее значение f(x) = 14.