Для решения данной задачи нам необходимо найти экстремумы функции y=2x-15x²+24x+3 на отрезке [2;3]. Экстремумы функции определяются значениями, при которых производная функции равна нулю или не определена.
1. Найдем производную функции y по x: y’ = 2 – 30x + 24.
2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 2 – 30x + 24 = 0.
Получим: 30x = 26.
Из этого выражения можно найти x: x = 26/30 = 13/15.
3. Используем вторую производную, чтобы определить характер экстремума. Найдем вторую производную функции y: y” = -30.
4. Подставим найденное значение x во вторую производную: y”(13/15) = -30.
Мы видим, что значение второй производной отрицательно, что означает, что функция имеет локальный максимум в точке x = 13/15.
5. Найдем значения функции при x = 2, x = 3 и x = 13/15.
Подставим значения в функцию y = 2x-15x²+24x+3:
– При x = 2: y(2) = 2*2 – 15*2² + 24*2 + 3 = -29.
– При x = 3: y(3) = 2*3 – 15*3² + 24*3 + 3 = 9.
– При x = 13/15: y(13/15) = 2*(13/15) – 15*(13/15)² + 24*(13/15) + 3 = -2/5.
Таким образом, наибольшее значение функции y на отрезке [2;3] равно 9, достигается при x = 3, и наименьшее значение равно -29, достигается при x = 2.