Для решения данной задачи, мы сначала найдем производную функции f(x), а затем проанализируем знаки производной на промежутках.
1. Найдем производную функции f(x).
Для этого будем использовать правило дифференцирования произведения функций: (f*g)’ = f’*g + f*g’.
Здесь f(x) = x и g(x) = ln(x), поэтому f'(x) = 1 и g'(x) = 1/x.
Применяем правило дифференцирования произведения:
f'(x) = x * (1/x) + (1 * ln(x)) = 1 + ln(x)
2. Анализируем знаки производной.
Для этого будем анализировать знак выражения f'(x) = 1 + ln(x).
Запишем выражение, когда f'(x) = 0 и решим его:
1 + ln(x) = 0
ln(x) = -1
x = e^(-1) = 1/e
Таким образом, f'(x) равна нулю при x = 1/e.
Рассмотрим три промежутка:
а) x < 1/e
б) x = 1/e
в) x > 1/e
В каждом промежутке определим знак производной и получим информацию о возрастании/убывании функции f(x).
а) Для x < 1/e, ln(x) < 0, поэтому 1 + ln(x) < 1. Значит, f'(x) < 0 на этом промежутке, что означает, что функция f(x) убывает на этом промежутке. б) Для x = 1/e, ln(x) = ln(1/e) = ln(1) - ln(e) = 0 - 1 = -1. Значит, f'(x) = 1 - 1 = 0 на этом промежутке, то есть функция f(x) достигает точки экстремума при x = 1/e. в) Для x > 1/e, ln(x) > 0, поэтому 1 + ln(x) > 1. Значит, f'(x) > 0 на этом промежутке, что означает, что функция f(x) возрастает на этом промежутке.
Таким образом, функция f(x) убывает на промежутке (0, 1/e], достигает точки экстремума при x = 1/e, и возрастает на промежутке [1/e, +∞).