Для нахождения экстремумов функции мы должны проанализировать ее производную.
Шаги решения:
1. Найдем первую производную функции y по переменной x, используя правило дифференцирования:
y’ = 7 + (1/3) * x^(-2/3)
2. Решим уравнение y’ = 0 для нахождения критических точек:
7 + (1/3) * x^(-2/3) = 0
3. Решим полученное уравнение для x:
x^(-2/3) = -21
возведем обе части в -3/2 для избавления от отрицательного показателя:
1 / x^(3/2) = -21^(3/2)
x^(3/2) = (-1) / (21^(3/2))
возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
x^3 = 1 / (21^3)
x = (1 / (21^3))^(1/3)
x ≈ 0.084
4. Проверим, является ли найденная точка критической точкой.
Для этого найдем вторую производную функции y:
y” = 0 – (1/2) * (2/3) * x^(-5/3)
Подставим найденную критическую точку x в y” и вычислим ее значение:
y”(0.084) = – (1/2) * (2/3) * (0.084)^(-5/3)
≈ -1.9
Так как значение y”(0.084) отрицательное, то мы можем сделать вывод, что найденная точка является локальным максимумом функции.
Таким образом, функция y = 7x + 7 + кубический корень из x имеет локальный максимум при x ≈ 0.084.