Нам нужно найти коэффициент при x^98 в выражении (1+x+x^2+x^3+…+x^100)^3.
Шаги решения:
1. Заметим, что выражение (1+x+x^2+x^3+…+x^100) представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 1 и последним членом x^100. Используя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:
(1+x+x^2+x^3+…+x^100) = (x^101 – 1) / (x – 1).
2. Возводим это выражение в куб:
[(x^101 – 1) / (x – 1)]^3 = (x^101 – 1)^3 / (x – 1)^3.
3. Раскрываем куб:
(x^101 – 1)^3 = (x^101 – 1)(x^101 – 1)(x^101 – 1) = (x^101)^3 – 3(x^101)^2 + 3x^101 – 1.
4. Делаем замену x^101 = y:
(x^101)^3 – 3(x^101)^2 + 3x^101 – 1 = y^3 – 3y^2 + 3y – 1.
5. Теперь нам нужно найти коэффициент при x^98, что эквивалентно коэффициенту при y^3 в выражении y^3 – 3y^2 + 3y – 1.
Коэффициент при y^3 равен 1, поскольку y^3 не содержит дополнительных множителей y.
6. Таким образом, коэффициент при x^98 в исходном выражении равен 1.
Ответ: Коэффициент при x^98 равен 1.