Для решения данной задачи, воспользуемся заменой переменной. Пусть u = 3x^2 + 2, тогда du = 6xdx.
Выразим dx через du и подставим в исходное выражение:
dx = du / (6x)
Теперь подставим выражение для dx в исходное выражение и решим интеграл:
∫ (1 – 2x) / √(3x^2 + 2) dx = ∫ (1 – 2x) / √u * (du / (6x))
= 1/6 ∫ (1 – 2x) / (x * √u) du
Разложим дробь на две дроби:
1/6 ∫ (1/x * √u – 2/x) du
Выполним интегрирование каждой дроби по отдельности:
1/6 ∫ (1/x * √u) du – 1/6 ∫ (2/x) du
Для первой дроби воспользуемся условием выше:
1/6 ∫ (1/x * √u) du = 1/6 (∫ (1/√u) du) * (1/x)
∫ (1/√u) du = 2√u
Подставим значение интеграла обратно и продолжим решение:
1/6 * 2√u * (1/x) – 1/6 ∫ (2/x) du
= √u / 3x – 1/6 ∫ (2/x) du
Для второй дроби интегрирование проще:
– 1/6 ∫ (2/x) du = – 1/6 * (2 * ln|x|) + C
где C – постоянная интегрирования.
Итак, окончательный ответ:
√u / 3x – 1/6 * (2 * ln|x|) + C
Выражение можно упростить, заменив u обратно на 3x^2 + 2:
√(3x^2 + 2) / 3x – ln|x|/3 + C
Где C – постоянная интегрирования.