Для нахождения оригинала функции F(z) по её Z-преобразованию, мы будем использовать метод частных дробей.
Шаги решения:
1. Найдите все полюса функции F(z), решив уравнение знаменателя равное нулю:
z^2 + 2z + 2 = 0
Решив это квадратное уравнение, получим два комплексных полюса: z1 = -1 + i и z2 = -1 – i.
2. Представьте функцию F(z) в виде суммы простейших дробей:
F(z) = A/(z – z1) + B/(z – z2)
где A и B – неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти.
3. Приведите функцию F(z) к общему знаменателю с помощью метода общего знаменателя:
F(z) = (A*(z – z2) + B*(z – z1))/((z – z1)*(z – z2))
4. Подставьте значение z1 = -1 + i и уравняйте числитель дроби равным значению F(z) при z = z1:
5z1 = (A*(-1 + i – (-1 – i)) + B*(-1 + i – (-1 + i))) / ((-1 + i – (-1 – i)) * (-1 + i – (-1 + i)))
5. Подставьте значение z2 = -1 – i и уравняйте числитель дроби равным значению F(z) при z = z2:
5z2 = (A*(-1 – i – (-1 – i)) + B*(-1 – i – (-1 + i))) / ((-1 – i – (-1 – i)) * (-1 – i – (-1 + i)))
6. Решите полученную систему уравнений с двумя неизвестными A и B. Это позволит нам найти значения коэффициентов A и B.
7. Подставьте найденные значения коэффициентов A и B обратно в исходное выражение для F(z):
F(z) = A/(z – z1) + B/(z – z2)
Теперь у нас есть оригинал функции F(z) по её Z-преобразованию.