Для решения данного интеграла мы будем использовать метод частичных дробей.
1. Сначала найдем разложение функции в частные дроби.
Найдем корни знаменателя x^2 + 2x + 2. Решим уравнение x^2 + 2x + 2 = 0 с помощью квадратного уравнения или формулы дискриминанта. Получим два комплексных корня:
x = -1 + i и x = -1 – i, где i – мнимая единица.
2. По общей формуле, частные дроби могут быть записаны в виде:
(x + 5) / (x^2 + 2x + 2) = A / (x + 1 – i) + B / (x + 1 + i)
3. Найдем числовые значения коэффициентов A и B, сократив обе части этого уравнения на (x + 1 – i) и (x + 1 + i) соответственно:
(x + 5) = A(x + 1 + i) + B(x + 1 – i)
4. Подставим значения корней знаменателя в полученное уравнение:
(x + 5) = A(-1 + i + 1 + i) + B(-1 – i + 1 – i)
= A(2i) + B(-2i)
= (2A – 2Bi)i
5. Сравниваем действительную и мнимую части на обеих сторонах равенства:
Действительная часть: x + 5 = 2A – 2Bi
Мнимая часть: 0 = 2A – 2Bi
6. Из действительной части получаем A = (x + 5) / 2
Из мнимой части получаем B = (x + 5) / 2
7. Теперь можем записать исходную функцию в виде суммы двух простых дробей:
(x + 5) / (x^2 + 2x + 2) = ( (x + 5) / 2 ) / (x + 1 – i) + ( (x + 5) / 2 ) / (x + 1 + i)
8. Интегрируем каждую простую дробь по отдельности. Интеграл от произведения суммы двух простых дробей будет равен сумме интегралов каждой дроби:
∫(x+5)/(x^2 + 2x +2) dx = (1/2)∫(x + 5)/(x + 1 – i) dx + (1/2)∫(x + 5)/(x + 1 + i) dx
9. Интегрируя каждую дробь отдельно, получим результат:
(1/2)ln| x + 1 – i | + (1/2)ln| x + 1 + i | + C,
где C – постоянная интегрирования.
Таким образом, интеграл ∫(x+5)/(x^2 + 2x +2) dx равен (1/2)ln| x + 1 – i | + (1/2)ln| x + 1 + i | + C.