Для нахождения полного дифференциала первого порядка функции = ( ^3 ^4), мы должны найти частные производные по каждой из переменных и , а затем домножить их на дифференциалы соответствующих переменных и сложить результаты.
Шаги решения:
1. Найдем частные производные функции по переменным и . Для этого применим правило дифференцирования функции композиции:
∂ /∂ = ∂ /∂( ^3 ^4) * ∂( ^3 ^4)/∂ ,
∂ /∂ = ∂ /∂( ^3 ^4) * ∂( ^3 ^4)/∂ .
2. Найдем частную производную ∂ /∂( ^3 ^4) с помощью правила дифференцирования трансцендентной функции:
∂ /∂( ^3 ^4) = (1/ ) * ∂ /∂( ^3 ^4) = (1/ ) * (∂ /∂ ^3) * (∂ ^3/∂( ^3 ^4)) + (1/ ) * (∂ /∂ ^4) * (∂ ^4/∂( ^3 ^4)).
3. Найдем частные производные ∂ /∂ ^3 и ∂ /∂ ^4 по переменным ^3 и ^4, используя правило дифференцирования функции тангенса:
∂ /∂ ^3 = 4 ^4 * ∂(tg ^3 ^4)/∂ ^3 = 4 ^4 * sec^2( ^3 ^4),
∂ /∂ ^4 = 3 ^3 * ∂(tg ^3 ^4)/∂ ^4 = 3 ^3 * sec^2( ^3 ^4).
4. Найдем частные производные ∂ ^3/∂( ^3 ^4) и ∂ ^4/∂( ^3 ^4) с помощью правила дифференцирования степенной функции:
∂ ^3/∂( ^3 ^4) = 1/( ^3 ^4) * ∂ ^3/∂( ^3 ^4) = 1/( ^3 ^4) * 3( ^2)( ^4) = 3/ ^4,
∂ ^4/∂( ^3 ^4) = 1/( ^3 ^4) * ∂ ^4/∂( ^3 ^4) = 1/( ^3 ^4) * 4( ^3)( ^3) = 4/ ^3.
5. Подставим найденные значения частных производных в выражение для частной производной ∂ /∂( ^3 ^4):
∂ /∂( ^3 ^4) = (1/ ) * (4 ^4 * sec^2( ^3 ^4)) * (3/ ^4) + (1/ ) * (3 ^3 * sec^2( ^3 ^4)) * (4/ ^3)
= 4sec^2( ^3 ^4) + 12sec^2( ^3 ^4).
6. Теперь умножим полученную частную производную ∂ /∂( ^3 ^4) на дифференциалы соответствующих переменных и сложим результаты:
= ∂ /∂ * + ∂ /∂ *
= (4sec^2( ^3 ^4) + 12sec^2( ^3 ^4)) * 3 ^2∙ + (4sec^2( ^3 ^4) + 12sec^2( ^3 ^4)) * 4 ^3∙ .
Таким образом, полный дифференциал первого порядка функции = ( ^3 ^4) равен (4sec^2( ^3 ^4) + 12sec^2( ^3 ^4)) * (3 ^2∙ + 4 ^3∙ ).