Для нахождения производной скалярного поля по направлению вектора необходимо использовать дифференциальный оператор Гамильтона-Кронекера.
1. Для начала найдем градиент скалярного поля и(х, у, z):
∇i = (∂i/∂x)i + (∂i/∂у)j + (∂i/∂z)k, где ∇ обозначает градиент, а i, j, k – единичные векторы
В данной задаче у нас есть функция:
i(x, y, z) = x^2 – arctg(y + z)
Выполняем частные производные скалярного поля по каждой координате:
∂i/∂x = 2x,
∂i/∂у = -1/(1 + (y + z)^2),
∂i/∂z = -1/(1 + (y + z)^2).
Таким образом, градиент скалярного поля будет выглядеть следующим образом:
∇i = (2x)i – (1/(1 + (y + z)^2))j – (1/(1 + (y + z)^2))k.
2. Теперь применим оператор Гамильтона-Кронекера, чтобы найти производную скалярного поля по направлению вектора u = 3j – 4k.
Дифференциальный оператор Гамильтона-Кронекера записывается следующим образом:
∇i · u = (∂i/∂x)ux + (∂i/∂ у)uy + (∂i/∂z)uz
Подставляем найденные значения:
(∂i/∂x)ux + (∂i/∂ у)uy + (∂i/∂z)uz = (2x)(0) + (-1/(1 + (y + z)^2))(3) + (-1/(1 + (y + z)^2))(-4)
Учитывая, что M(2, 1, 1), получаем:
(∇i · u)(2,1,1) = 0 + (-1/9)(3) + (-1/9)(-4) = -1/9 + 4/9 = 3/9 = 1/3.
3. Ответ: Производная скалярного поля i(х, у, z) в точке М по направлению вектора u = 3j – 4k равна 1/3.