Градиент скалярного поля определяется как вектор, составленный из частных производных поля по каждой из координат. Для нахождения величины и направления градиента сначала вычислим частные производные по x, y и z, а затем подставим точки O, A и B в полученные выражения.
1) Частные производные поля u по каждой из координат:
∂u/∂x = 2x + y + 3,
∂u/∂y = 4y + x – 2,
∂u/∂z = 6z – 6.
2) Рассчитаем значения градиента в точках O, A и B:
а) В точке O (0, 0, 0):
∂u/∂x = 2(0) + 0 + 3 = 3,
∂u/∂y = 4(0) + 0 – 2 = -2,
∂u/∂z = 6(0) – 6 = -6.
Таким образом, градиент в точке O равен G_O = (3, -2, -6).
б) В точке A (1, 1, 1):
∂u/∂x = 2(1) + 1 + 3 = 6,
∂u/∂y = 4(1) + 1 – 2 = 3,
∂u/∂z = 6(1) – 6 = 0.
Таким образом, градиент в точке A равен G_A = (6, 3, 0).
в) В точке B (2, 0, 1):
∂u/∂x = 2(2) + 0 + 3 = 7,
∂u/∂y = 4(0) + 2 – 2 = 0,
∂u/∂z = 6(1) – 6 = 0.
Таким образом, градиент в точке B равен G_B = (7, 0, 0).
3) Для нахождения точки, в которой градиент равен нулю, решим систему уравнений:
∂u/∂x = 0,
∂u/∂y = 0,
∂u/∂z = 0.
Подставив выражения для частных производных из пункта 1, получим систему:
2x + y + 3 = 0,
4y + x – 2 = 0,
6z – 6 = 0.
Решением системы является точка (x, y, z) = (1, -2/3, 1). Таким образом, градиент равен нулю в точке (1, -2/3, 1).