Натуральное число n > 1 таково, что для любого натурального числа m, взаимно простого с числом n, число m + 103 также взаимно просто с числом n. Опишите все n, для которых это возможно.

Пусть n – искомое число. Для любого натурального числа m, взаимно простого с n, число m + 103 также должно быть взаимно простым с n.

Для решения этой задачи воспользуемся противоречием. Допустим, что существует такое n, для которого есть такое m (взаимно простое с n), что m + 103 не является взаимно простым с n. То есть, существует такое простое число p, которое является делителем как n, так и m + 103.

Так как p является делителем m + 103, то p также является делителем (m + 103) – m = 103. Мы знаем, что 103 – простое число, поэтому p не может быть делителем ни m, ни 103, ни n. Но мы предположили, что p является делителем и n, и (m + 103), что противоречит предположению о взаимной простоте между n и m.

Таким образом, противоречие невозможно, и условие задачи выполняется для всех натуральных чисел n.

Ответ: для любого натурального числа n > 1 выполняется условие “для любого натурального числа m, взаимно простого с числом n, число m + 103 также взаимно просто с числом n”.