Для решения данного дифференциального уравнения предлагается использовать метод вариации постоянных.
1. Найдем общее решение однородного уравнения, игнорируя правую часть: y’ + 2 * y/x = 0.
Наше однородное уравнение имеет вид y’ + (2/x) * y = 0.
Чтобы решить это уравнение, представим y в виде y = v * x.
Заметим, что y’ = v’ * x + v.
Подставляем эти выражения в исходное уравнение: v’ * x + v + (2/x) * v * x = 0.
Упрощаем полученное уравнение: x * v’ + 2 * v = 0.
Разделяем переменные и интегрируем: v’ / v = -2/x dx.
Получаем логарифмическое уравнение: ln |v| = -2 ln|x| + C1, где C1 – произвольная постоянная.
Раскрываем логарифм: ln |v| = ln|x| ^ (-2) + C1.
Упрощаем: ln |v| = ln |x ^ (-2)| + C1.
Применяя свойства логарифмов: ln |v| = -2 ln |x| + C1.
Возводим в экспоненту: |v| = e ^ (C1) * e ^ (-2 ln |x|).
Еще раз упрощаем: |v| = C * e ^ (-2 ln |x|), где C = e ^ (C1).
Заметим, что если v ≠ 0, то имеем: v = C * e ^ (-2 ln |x|).
Если v = 0, то y = v * x = 0.
Обратим внимание, что для нахождения общего решения нам требуется y(x), а не v(x). Поэтому избавимся от модуля в выражении для v, учитывая, что x может быть как положительным, так и отрицательным:
Таким образом, получаем, что y(x) = C * e ^ (-2 ln |x|) * x.
2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения: y’ + 2 * y/x = (tgx)/(x ^ 2).
Предлагается выбрать частное решение в виде y(x) = u(x) * v(x), где u(x) – произвольная функция, v(x) – частное решение однородного уравнения.
Так как однородное уравнение имеет решение y(x) = C * e ^ (-2 ln |x|) * x, выберем v(x) = e ^ (-2 ln |x|) * x.
Заметим, что y’ = (u’ * v + u * v’).
Подставляем найденные значения в исходное уравнение: (u’ * v + u * v’) + 2 * (u * v) / x = (tgx)/(x ^ 2).
Упрощаем: u’ * v + u * v’ + 2 * u * v / x = (tgx)/(x ^ 2).
Выражаем производную и перепишем уравнение: u’ * v + u * v’ = (tgx)/(x ^ 2) – 2 * u * v / x.
Мы можем найти v’ и v (из готового однородного уравнения): v’ = -2 * v / x, v = e ^ (-2 ln |x|) * x.
Подставляем значения в уравнение для производной u’: u’ * (e ^ (-2 ln |x|) * x) + u * (-2 * e ^ (-2 ln |x|) * x / x) = (tgx)/(x ^ 2) – 2 * u * (e ^ (-2 ln |x|) * x) / x.
Упрощаем: u’ * (e ^ (-2 ln |x|) * x) – 2 * u * e ^ (-2 ln |x|) = (tgx)/(x ^ 2) – 2 * u * (e ^ (-2 ln |x|) * x) / x.
Упрощаем дальше: u’ * x * e ^ (-2 ln |x|) – 2 * u * e ^ (-2 ln |x|) = (tgx)/(x ^ 2) – 2 * u * x * e ^ (-2 ln |x|) / x.
e ^ (-2 ln |x|) = (1 / e ^ (2 ln |x|)) = (1 / e ^ ln |x| ^ 2) = 1 / x ^ 2.
Заметим, что (-2 * u * e ^ (-2 ln |x|) = -2 * u / x ^ 2.
Подставим полученные значения: u’ * x / x ^ 2 – 2 * u / x ^ 2 = (tgx)/(x ^ 2) – 2 * u / x.
Упрощаем и делим выражение на x: u’ / x – 2 * u / x ^ 2 = (tgx)/(x ^ 2) – 2 * u / x.
Получили уравнение, которое можно упростить: u’ / x = (tgx)/(x ^ 2).
Делим обе части уравнения на x: u’ / x ^ 2 = (tgx)/(x ^ 2 * x).
Упрощаем: u’ / x ^ 2 = tgx / x ^ 3.
Мы получили производное уравнение, которое сводится к производной от arctg(x): (u / x ^ 2)’ = arctg(x) / x ^ 3.
3. Найдем первообразную от обеих частей производного уравнения:
∫ (u / x ^ 2)’ dx = ∫ arctg(x) / x ^ 3 dx.
u / x ^ 2 = ∫ arctg(x) / x ^ 3 dx.
4. Проинтегрируем правую часть уравнения:
u / x ^ 2 = -1 / (2 * x ^ 2) + C2.
Умножаем обе части на x ^ 2:
u = -1 / 2 + C2 * x ^ 2.
5. Зная u(x), можем найти y(x):
y(x) = v(x) * u(x) = e ^ (-2 ln |x|) * x * (-1 / 2 + C2 * x ^ 2).
Упрощаем: y(x) = -1 / 2 * e ^ (-2 ln |x|) * x + C2 * x ^ 3 * e ^ (-2 ln |x|).
e ^ (-2 ln |x|) = 1 / (e ^ (2 ln |x|)) = 1 / (|x| ^ 2) = 1 / (x ^ 2).
Получаем финальное решение: y(x) = -1 / 2 * x + C2 * x.
Таким образом, правильным ответом является a. y = – (ln(|cos x|))/(x ^ 2).