Для начала определим вид уравнения. Уравнение 5xy’ – y = x/(arctg(y/x)) можно записать в виде y’ – (1/5x)y = 1/(5x*arctg(y/x)).
Чтобы найти общее решение этого дифференциального уравнения, воспользуемся методом однородного уравнения и методом вариации постоянной.
1. Как видим, данный вид уравнения можно переписать в виде y’ – (1/5x)y = 0, где однородное уравнение y’ – (1/5x)y = 0.
2. Решаем однородное уравнение y’ – (1/5x)y = 0 с помощью метода разделения переменных.
Уравнение можно переписать в виде y’ / y = 1/(5x). Затем проинтегрируем обе стороны уравнения:
∫ (1/y) dy = ∫ (1/(5x)) dx.
Интегрируем левую и правую части уравнения:
ln|y| = (1/5)ln|x| + C,
где С – произвольная постоянная. Применяем экспоненту к обоим сторонам уравнения, чтобы избавиться от логарифма:
|y| = e^[(1/5)ln|x| + C].
Применяем свойства экспоненты:
|y| = e^[(1/5)ln|x|] * e^C.
Записываем константу C в новом виде, называемом C1:
|y| = C1 * e^[(1/5)ln|x|].
3. Выразим общее решение однородного уравнения в виде y = C1 * e^[(1/5)ln|x|], где C1 – произвольная константа.
4. Применим метод вариации постоянной, чтобы найти частное решение неоднородного уравнения.
Ищем частное решение в виде y = v(x) * C1(x), где v(x) – неизвестная функция, а C1(x) – полученное общее решение однородного уравнения.
Подставляем найденное общее решение и его производную в исходное уравнение:
(v'(x) * C1(x) + v(x) * C1′(x)) – (1/5x)(v(x) * C1(x)) = 1/(5x*arctg(v(x)/x)).
Далее, собираем все слагаемые с C1(x) вместе и приравниваем их к 0:
C1(x) * (v'(x) – (1/5x) * v(x)) + v(x) * C1′(x) = 0.
5. Решаем уравнение C1(x) * (v'(x) – (1/5x) * v(x)) + v(x) * C1′(x) = 0 методом разделения переменных:
Получаем (v'(x) – (1/5x) * v(x))/v(x) = -C1′(x)/C1(x).
Интегрируем обе стороны уравнения:
ln|v(x)| – (1/5)ln|x| = ln|C1(x)| + C2.
6. Приводим к общему виду:
ln|v(x)| – ln|x^(1/5)| = ln|C1(x)| + C2.
Получаем ln(|v(x)/x^(1/5)|) = ln|C1(x)| + C2, где C2 – произвольная константа.
Применяем экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|v(x)/x^(1/5)| = e^(ln|C1(x)| + C2).
Заменяем произвольную константу e^(ln|C1(x)| + C2) на новую произвольную константу С3:
|v(x)/x^(1/5)| = C3.
Таким образом, получаем выражение для v(x):
|v(x)| = C3 * |x^(1/5)|.
7. Подставляем выражение для v(x) в частное решение y = v(x) * C1(x):
y = C1(x) * |x^(1/5)| * C3.
8. Итак, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
y = C1(x) * |x^(1/5)| * C3, где C1(x) и C3 – произвольные постоянные.
Таким образом, это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.