Для оценки точности интерполяционного многочлена Лагранжа используем остаточный член в форме Лагранжа. Формула остаточного члена имеет вид:
Rn(x) = f^(n+1)(ξ(x))/(n+1)! * (x-x0)(x-x1)…(x-xn),
где f^(n+1)(ξ(x)) – n-я производная функции f(x) в точке ξ(x), ξ(x) принадлежит интервалу (x0, xn), и (x0, x1, …, xn) – узлы интерполяции.
Для данной задачи у нас есть значения ln 100, ln 101, ln 102, ln 103. Возьмем ln 100, ln 101, ln 102 как узлы интерполяции и найдем интерполяционный многочлен Лагранжа L(x) на основе этих узлов:
L(x) = ln 100 * ((x-101)(x-102))/((100-101)(100-102)) + ln 101 * ((x-100)(x-102))/((101-100)(101-102)) + ln 102 * ((x-100)(x-101))/((102-100)(102-101)).
Теперь найдем остаточный член Rn(x). Нам нужна производная f^(n+1)(ξ(x)). В данном случае n=2 (третья производная), и факториал (n+1)! = 3!.
ln(x) имеет третью производную f”'(x) = -2/(x^3).
Теперь нам нужно найти наибольшее значение производной в интервале [100, 103]. Для этого возьмем производную второго порядка f”(x) = 6/(x^4) и найдем максимум на этом интервале:
f”(x) = 6/(x^4).
f”(100) = 6/(100^4) = 6/100000000 = 0.00000006.
f”(103) = 6/(103^4) = 6/109272727 = 0.000000055.
Таким образом, наибольшее значение производной f”(x) в интервале [100, 103] равно 0.00000006. Обозначим это значение как M.
Теперь мы можем оценить точность интерполяционного многочлена Лагранжа, используя формулу остаточного члена:
|Rn(x)| <= M*|x-100|*|x-101|*|x-102|/(3!), где |x-100|, |x-101|, |x-102| - это расстояния между x и узлами интерполяции. Давайте оценим точность на отрезке [100, 100.5]. Заметим, что |x-100| <= 0.5 и |x-101| <= 0.5. Таким образом, оценка точности для ln 100,5 будет: |Rn(100.5)| <= M*0.5*0.5*0.5/(3!) = M/24. Подставим M = 0.00000006: |Rn(100.5)| <= 0.00000006/24 = 0.0000000025. Таким образом, с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа с узлами ln 100, ln 101, ln 102, ln 103, мы можем оценить ln 100,5 с точностью до 0.0000000025. Это очень высокая точность.