Обозначим радиусы первой и второй окружностей как r и R соответственно.
Первая окружность касается внешним образом второй окружности в точке T, а общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку T, пересекается с другой общей касательной в точке A.
Поскольку точка T является точкой касания, то вектор, соединяющий центры окружностей, будет перпендикулярен к общей касательной в точке T.
Так как общая касательная пересекается с другой общей касательной в точке A, то вектор, соединяющий центры окружностей, должен также быть перпендикулярен к этой общей касательной в точке A.
Итак, векторы TA и AO (где O – центр второй окружности) перпендикулярны друг другу.
Так как TA и AO перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:
TA·AO = 0
Запишем это скалярное произведение в виде векторного произведения между векторами:
|TA| * |AO| * sin(90°) = 0
Поскольку синус 90° равен 1, упростим эту формулу:
|TA| * |AO| = 0
Так как TA равно r+R (из треугольника TOA), а |AO| равно R, получим:
(r + R) * R = 0
Так как радиус не может быть отрицательным, остается только одно возможное решение:
r + R = 0
Решим уравнение:
R = -r
Таким образом, радиус второй окружности равен отрицанию радиуса первой окружности.