Даны три равенства:
1) x^2 + xy + y^2 = 1,
2) y^2 + yz + z^2 = 3,
3) z^2 + zx + x^2 = 4.
Первое равенство можно переписать в виде x^2 + xy + y^2 – 1 = 0. Обратим внимание, что это квадратное уравнение. Что значит, что его можно представить в виде произведения двух линейных множителей: (x + ax + by – 1)(x + cx + dy – 1) = 0. Наша задача – найти значения коэффициентов a, b, c, d.
Раскрывая скобки, мы получаем x^2 + (a+c)x^2 + (b+d)yx – (a + c + b + d) + (x + ax + by – 1)(y + cx + dy – 1).
Сравнивая коэффициенты, получаем следующую систему уравнений:
a + c = 1,
b + d = 0,
a + d = 0,
b + c = 0.
Из первого уравнения получаем a = 1 – c, подставляем в третье уравнение и получаем d = -1 + c. Подставляем это обратно во второе уравнение и получаем b = 1 – c. Подставляем значения в четвертое уравнение и получаем c = 1/2, d = -1/2, a = 1/2, b = 1/2.
Теперь, зная значения a, b, c, d, мы можем раскрыть скобки в квадратном трехчлене x^2 + xy + y^2 – 1 = 0 и получить (1/2x + 1/2y – 1)(1/2x + 1/2y + 1) = 0.
Аналогично, рассмотрим второе и третье уравнения. Получим следующие равенства: (1/2y + 1/2z – √3)(1/2y + 1/2z + √3) = 0, (1/2z + 1/2x – 2)(1/2z + 1/2x + 2) = 0.
Заметим, что эти равенства можно переписать в следующем виде: (x + y – 2)(x + y + 2) = 0, (y + z – 2√3)(y + z + 2√3) = 0, (z + x – 2)(z + x + 2) = 0.
Теперь мы можем выразить переменные x, y и z через значения a, b, c, d: x = 2 – y, y = 2√3 – z, z = 2 – x.
Подставим значения x, y и z в уравнение (x + y + z)^2 и раскроем скобки:
(x + y + z)^2 = (2 – y + y + 2√3 – z + z + 2 – x)^2
= (6 – 2x + 2√3 – 2x)^2
= (6 – 4x + 2√3)^2
= 36 – 48x + 16x^2 + 12√3 – 24√3x + 12(√3)^2
= 16x^2 – 72x + 48
= 16(x^2 – 4.5x + 3)
Найдем значение выражения (x^2 – 4.5x + 3). Раскроем скобки:
x^2 – 4.5x + 3 = (2 – y)^2 – 4.5(2 – y) + 3
= 4 – 4y + y^2 – 9 + 4.5y + 3
= y^2 + 0.5y – 2
Подставляем это значение в предыдущее уравнение:
(x + y + z)^2 = 16(y^2 + 0.5y – 2)
= 16y^2 + 8y – 32
Ответ: значение выражения (x + y + z)^2 равно 16y^2 + 8y – 32.