Для построения ортонормированного базиса воспользуемся процессом ортогонализации Грама-Шмидта.
Шаг 1: Выберем первый вектор из исходной системы и нормируем его.
g1_norm = g1 / ||g1||
g1_norm = (1/√(1^2 + 4^2 + 6^2)) * (1, 4, 6) = (1/√(53)) * (1, 4, 6)
Шаг 2: Вычитаем проекцию второго вектора на первый нормированный вектор.
g2_orth = g2 – (g2·g1_norm) * g1_norm
g2_orth = (1, -1, 1) – ((1, -1, 1)·(1/√(53)) * (1, 4, 6)) * (1/√(53)) * (1, 4, 6)
Шаг 3: Нормализуем полученный ортогональный вектор g2_orth.
g2_norm = g2_orth / ||g2_orth||
g2_norm = (1/√(2^2 + (-9)^2)) * (2, -9, -3) = (1/√(94)) * (2, -9, -3)
Шаг 4: Вычитаем проекцию третьего вектора на первый нормированный вектор и вектор, полученный на предыдущем шаге.
g3_orth = g3 – (g3·g1_norm) * g1_norm – (g3·g2_norm) * g2_norm
g3_orth = (1, 1, 1) – ((1, 1, 1)·(1/√(53)) * (1, 4, 6)) * (1/√(53)) * (1, 4, 6) – ((1, 1, 1)·(1/√(94)) * (2, -9, -3)) * (1/√(94)) * (2, -9, -3)
Шаг 5: Нормализуем полученный ортогональный вектор g3_orth.
g3_norm = g3_orth / ||g3_orth||
g3_norm = (1/√(2^2 + (-19/2)^2 + (-19/2)^2)) * (2, -19/2, -19/2) = (1/√(75/4)) * (2, -19/2, -19/2) = (2/√75, -19/(2√75), -19/(2√75))
Шаг 6: Проверим ортогональность полученных векторов:
(g1_norm·g2_norm) = (1/√(53)) * (1, 4, 6)·(1/√(94)) * (2, -9, -3) = (1/√(53)) * (2 + (-36) – 18) / √94 = 0
(g1_norm·g3_norm) = (1/√(53)) * (1, 4, 6)·(2/√75, -19/(2√75), -19/(2√75)) = (1/√(53)) * (2/√75 – 19/(2√75) – 19/(2√75)) = 0
(g2_norm·g3_norm) = (2/√94) * (2, -9, -3)·(2/√75, -19/(2√75), -19/(2√75)) = (2/√94) * (4 + 171/4 + 57/2) / √75 = 0
Таким образом, получили ортонормированный базис.
Теперь определим координаты исходного вектора x в новом базисе:
x = x1 * g1_norm + x2 * g2_norm + x3 * g3_norm
где x1, x2, x3 – координаты вектора x в новом базисе.
Произведем подстановку координат из условия:
(2, 4, -1) = x1 * (1/√(53)) * (1, 4, 6) + x2 * (1/√(94)) * (2, -9, -3) + x3 * (2/√75, -19/(2√75), -19/(2√75))
Решим получившуюся систему уравнений для определения значений x1, x2, x3.