Для оценки параметра θ методом максимального правдоподобия нужно найти такое значение θ, при котором вероятность наблюдаемой выборки будет максимальной.
Шаги решения:
1. Записываем функцию правдоподобия для данной выборки. Правдоподобие определяется как произведение вероятностей наблюдаемых значений в выборке, которое в данном случае равно просто значению плотности распределения для каждого элемента выборки.
Функция правдоподобия L(θ) = p(x1) * p(x2) * … * p(xn), где p(x) – плотность распределения p(x).
В нашем случае функция правдоподобия будет равна:
L(θ) = p(1,4) * p(1,5) * p(3,2) * p(1,4) * p(2,6) * p(3,4) * p(3,1) * p(2,4) * p(3,8) * p(2,6).
2. Подставляем плотность распределения p(x), используя заданную формулу:
p(x) = 2x^3/√2π×e^(x4-θ)^2/2.
Таким образом, функция правдоподобия будет выглядеть следующим образом:
L(θ) = (2*1,4^3)/(√2π*exp((1,4^4-θ)^2/2)) * (2*1,5^3)/(√2π*exp((1,5^4-θ)^2/2)) * … * (2*2,6^3)/(√2π*exp((2,6^4-θ)^2/2)).
3. Максимизируем функцию правдоподобия, взяв производную по θ и приравняв ее к нулю:
dL(θ)/dθ = 0.
Решив это уравнение, найдем оценку параметра θ.
4. Перейдем к численным методам решения уравнения для нахождения оценки параметра θ. Например, можно использовать метод Ньютона или метод наискорейшего подъема.
В данном случае можно воспользоваться численным решением с помощью пакета программного обеспечения, такого как Python и его библиотека SciPy.
5. Подставим значения выборки в оценку параметра θ и получим численное значение оценки θ методом максимального правдоподобия.
Таким образом, шаги решения задачи включают запись функции правдоподобия для данной выборки, подстановку плотности распределения, максимизацию функции правдоподобия и нахождение численной оценки параметра θ с помощью численного метода или программного обеспечения.