Мы хотим разложить функцию w=1/(2+z) в ряд Лорана в кольце 0<|z|<2. Чтобы это сделать, следует выполнить следующие шаги: 1. Найдите сингулярные точки функции w=1/(2+z). В данном случае у нас есть одна сингулярная точка, а именно z=-2. 2. Проверьте, находится ли сингулярная точка внутри кольца 0<|z|<2. В нашем случае сингулярная точка z=-2 находится внутри данного кольца. 3. Разложите функцию w=1/(2+z) в ряд Лорана вокруг сингулярной точки z=-2. Для этого воспользуемся формулой ряда Лорана: w = Σ [ aₙ(z - z₀)ⁿ ] + Σ [ bₙ/zⁿ ], где z₀ - сингулярная точка, aₙ и bₙ - коэффициенты ряда Лорана. 4. В данном случае сингулярная точка z₀ = -2, поэтому разложение будет иметь вид: w = Σ [ aₙ(z + 2)ⁿ ] + Σ [ bₙ/(z + 2)ⁿ ]. 5. Разложим функцию w=1/(2+z) в ряд Лорана вокруг сингулярной точки z=-2. Применяя метод неопределенных коэффициентов или метод разложения по степеням, получим: w = 1/(2+z) = -1/4 + 1/4(z + 2) - 1/8(z + 2)² + 1/16(z + 2)³ - ... + 1/4(z + 2)⁻¹ - 1/8(z + 2)⁻² + 1/16(z + 2)⁻³ - ... . 6. Таким образом, мы получили разложение функции w=1/(2+z) в ряд Лорана в кольце 0<|z|<2: w = -1/4 + 1/4(z + 2) - 1/8(z + 2)² + 1/16(z + 2)³ - ... + 1/4(z + 2)⁻¹ - 1/8(z + 2)⁻² + 1/16(z + 2)⁻³ - ... .
