Чтобы решить задачу Коши y′−y=e^2x, y(0)=1, мы можем использовать метод вариации постоянной.
1. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y′−y=0. Это уравнение имеет характеристическое уравнение λ-1=0, которое имеет единственный корень λ=1. Общее решение однородного уравнения будет иметь вид y_h=Ce^x, где C – произвольная постоянная.
2. Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, предположим, что частное решение имеет вид y_p=Ae^2x, где A – неизвестная постоянная.
3. Подставим это предположение в исходное уравнение и вычислим производные. Получим (Ae^2x)′−Ae^2x=e^2x, что равносильно 4Ae^2x−Ae^2x=e^2x.
4. Решим эту уравнение относительно A, и получим 3Ae^2x=e^2x. Деля обе части на e^2x, получим 3A=1, A=1/3.
5. Таким образом, частное решение имеет вид y_p=(1/3)e^2x.
6. Общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения: y=y_h+y_p=Ce^x+(1/3)e^2x.
7. Используя начальное условие y(0)=1, подставим это в решение и найдем конкретное значение постоянной C. Получим 1=Ce^0+(1/3)e^0, что равносильно 1=C+(1/3).
8. Решаем это уравнение относительно C и получим C=2/3.
9. В итоге, решением задачи Коши y′−y=e^2x, y(0)=1 является функция y=(2/3)e^x+(1/3)e^2x.