Мы решаем систему линейных уравнений с тремя неизвестными:
2x + 3y – 4z + 5 = 0
3x – 5z = -10
2x + 5y – 3z = 2
Шаг 1: Привести систему к матричному виду
Мы можем записать данную систему в матричной форме: AX = B, где
A = [[ 2, 3, -4], [3, 0, -5], [2, 5, -3]] – матрица коэффициентов
X = [[x], [y], [z]] – вектор неизвестных переменных
B = [[-5], [-10], [2]] – вектор свободных членов
Шаг 2: Привести матрицу A к ступенчатому виду методом Гаусса
Приведем матрицу коэффициентов A к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования строк:
1. Поменяем местами первую и вторую строку (S1 <-> S2):
[[3, 0, -5], [2, 3, -4], [2, 5, -3]]
2. Вычтем из второй строки половину первой строки:
[[3, 0, -5], [0, 3, -1], [2, 5, -3]]
3. Вычтем из третьей строки (2/3) первой строки:
[[3, 0, -5], [0, 3, -1], [0, 5, 2]]
Шаг 3: Привести матрицу A к улучшенному ступенчатому виду
Приведем матрицу коэффициентов A к улучшенному ступенчатому виду, продолжая использовать элементарные преобразования строк:
4. Разделим вторую строку на 3:
[[3, 0, -5], [0, 1, -1/3], [0, 5, 2]]
5. Вычтем из третьей строки (5) вторую строку:
[[3, 0, -5], [0, 1, -1/3], [0, 0, 17/3]]
Шаг 4: Найдем решение системы
Теперь, когда матрица A находится в улучшенном ступенчатом виде, мы можем найти решение системы, обратившись к вектору свободных членов B:
6. Перепишем систему в матричной форме: AX = B
[[3, 0, -5], [0, 1, -1/3], [0, 0, 17/3]] * X = [[-5], [-10], [2]]
7. Решим систему методом обратных ходов:
Заметим, что третье уравнение можно записать в виде: 0x + 0y + (17/3)z = (2/3)
Отсюда следует, что z = 2/17
Подставим это значение для z во второе уравнение: y – (1/3)z = -10/3. Подставим z = 2/17:
y – (1/3)(2/17) = -10/3
y = -10/3 + 2/51 = -98/51
Теперь подставим найденные значения y и z в первое уравнение: 3x – 5z = -10. Подставим z = 2/17:
3x – 5(2/17) = -10
3x = -10 + 10/17 = -160/17
x = -160/17 * 1/3 = -160/51
Таким образом, решение системы уравнений: x = -160/51, y = -98/51, z = 2/17.