Решить дифференциальное уравнение 5^x dx=(2y-1)dy

Данное дифференциальное уравнение нелинейно и неотделимо, поэтому можно применить метод вариации постоянной.

1) Дифференцируем уравнение по x, чтобы выразить dx:
5^x dx = (2y – 1) dy
dx = (2y – 1)/(5^x) dy

2) Представляем y как функцию x, заменяя y на y(x):
dx = (2y(x) – 1)/(5^x) dy

3) Пусть 2y(x) – 1 = C, где C – постоянная. Тогда имеем:
dx = C/(5^x) dy

4) Дифференцируем обе части уравнения по x:
d^2x = d(C/(5^x))/dx * dy

5) Находим d(C/(5^x))/dx:
d(C/(5^x))/dx = dC/dx/(5^x) – C d(5^x)/dx/(5^x)^2
d(C/(5^x))/dx = 0 – C (ln5)(5^x)/(5^x)^2
d(C/(5^x))/dx = -C (ln5)/(5^x)

6) Подставляем d(C/(5^x))/dx в уравнение:
d^2x = -C (ln5)/(5^x) dy

7) Интегрируем обе части уравнения:
∫d^2x = ∫-C (ln5)/(5^x) dy
x = -C (ln5) ∫(1/5^x) dy
x = -C (ln5) ∫(1/5^x) dy
x = -C (ln5) ∫(1/5^x) dy

8) Интегрируем ∫(1/5^x) dy:
x = -C (ln5) ∫(1/5^x) dy
x = -C (ln5) ∫(1/(5^x)) dy
x = -C (ln5) (-(1/ln5)5^x + K)
x = C (5^x – 1) + K’, где K и K’ – константы интегрирования

Таким образом, решение дифференциального уравнения 5^x dx = (2y – 1) dy имеет вид:
x = C (5^x – 1) + K