Для решения задачи рассмотрим комплексное число z = a + bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица.
Сначала рассмотрим условие |z| = 1. Это означает, что модуль числа z равен 1, или |z| = sqrt(a^2 + b^2) = 1. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим a^2 + b^2 = 1.
Теперь рассмотрим условие |z^4 + z| = 1. Возведем это выражение в квадрат и раскроем скобки:
|z^4 + z|^2 = (z^4 + z)(overline{z^4 + z}) = (z^4 + z)(overline{z^4} + overline{z}) = (z^4 + z)(overline{z}^4 + overline{z}) = (a^4 + 6a^2b^2 + b^4 + a + a^3 + ab^2 + a^2b – b^3 – b)(a^4 + 6a^2b^2 + b^4 – a – a^3 – ab^2 – a^2b + b^3 + b)
Раскроем скобки и получим следующее уравнение:
(a^8 + 2a^6b^2 + a^4b^4 + 15a^4 + 10a^2b^2 + 15b^4 + 8a^3 + 8ab^2 – 8a^2b – 8b^3 + a + b) = 0
Теперь объединим полученные уравнения:
a^2 + b^2 = 1 и a^8 + 2a^6b^2 + a^4b^4 + 15a^4 + 10a^2b^2 + 15b^4 + 8a^3 + 8ab^2 – 8a^2b – 8b^3 + a + b = 0
Для дальнейшего решения можно воспользоваться численными методами или графиком, чтобы найти значения a и b, удовлетворяющие обоим уравнениям. Здесь необходимо будет выполнить много вычислений, и нет явной формулы для решения задачи.
В итоге, ответ на вопрос “сколько существует таких чисел z ∈ C, что |z| = |z^4 + z| = 1?” будет зависеть от того, сколько пар (a, b) есть, которые удовлетворяют системе уравнений a^2 + b^2 = 1 и a^8 + 2a^6b^2 + a^4b^4 + 15a^4 + 10a^2b^2 + 15b^4 + 8a^3 + 8ab^2 – 8a^2b – 8b^3 + a + b = 0.