1. График функции распределения F(x):
F(x) = 0 при x ≤ 0,5
F(x) = x^2 – 0,8 при 0,5 < x ≤ 1,5
F(x) = 1 при x > 1,5
Чтобы построить график, нам нужно на оси x отметить значения 0,5 и 1,5, затем провести линию от (0, 0) до (0,5, 0) и от (0,5, 0) до (1,5, 0,5^2 – 0,8), и наконец, провести прямую от (1,5, 0,5^2 – 0,8) до (+∞, 1) для отображения функции F(x) при x > 1,5.
2. Чтобы найти вероятность P(1 ≤ X ≤ 3), необходимо вычислить разность F(3) и F(1):
P(1 ≤ X ≤ 3) = F(3) – F(1)
Используя функцию распределения:
F(3) = 1 (так как x > 1,5)
F(1) = 1 (так как x > 1,5)
P(1 ≤ X ≤ 3) = 1 – 1 = 0
Так как интервал от 1 до 3 не содержит значений x, вероятность попадания в этот интервал равна 0.
3. Чтобы вычислить М(X) (математическое ожидание), D(X) (дисперсию) и σ(X) (стандартное отклонение):
М(X) = ∑ x * P(X = x), где сумма берется по всем возможным значениям X
D(X) = ∑ (x – М(X))^2 * P(X = x)
σ(X) = √D(X)
В данном случае у нас есть только 2 возможных значения для X: 0,5 и 1,5.
P(X = 0,5) = F(0,5) – F(0) = 0^2 – 0 = 0
P(X = 1,5) = F(1,5) – F(0,5) = (1,5)^2 – 0,8 – 0^2 = 1,61 – 0,8 = 0,81
М(X) = 0,5 * P(X = 0,5) + 1,5 * P(X = 1,5) = 0 + 0,81 = 0,81
D(X) = (0,5 – 0,81)^2 * P(X = 0,5) + (1,5 – 0,81)^2 * P(X = 1,5) = 0,31^2 * 0 + 0,69^2 * 0,81 = 0
σ(X) = √D(X) = √0 = 0
Таким образом, М(X) = 0,81, D(X) = 0, σ(X) = 0