Чтобы найти уравнение касательной к кривой y = x^3 + 1, параллельной прямой, проходящей через точки А(-2,-5) и В(1,4), мы будем использовать следующие шаги:
1. Найдем производную функции y = x^3 + 1. Для этого возьмем производную от каждого члена уравнения по x: dy/dx = 3x^2.
2. Поскольку касательные параллельны прямой, проходящей через А и В, их наклон будет таким же, как у этой прямой. Для этого нам нужно найти наклон прямой, проходящей через А и В. Наклон прямой можно найти, используя формулу: m = (y2 – y1) / (x2 – x1), где m – наклон прямой, (x1, y1) и (x2, y2) – координаты точек А и В соответственно.
Для наших точек А(-2,-5) и В(1,4) получим: m = (4 – (-5)) / (1 – (-2)) = 9 / 3 = 3.
3. Теперь у нас есть наклон прямой, параллельной касательной. Используем формулу для наклона касательной, которая равна производной функции dy/dx в заданной точке: m_k = 3x^2.
4. Заменим m_k на нашу известную наклонную прямую 3 и решим уравнение для нахождения х-координаты точки касания. Получим уравнение 3 = 3x^2.
5. Решим полученное уравнение 3 = 3x^2, чтобы найти х-координату точки касания. Результатом будет x = ±1. Подставим эти значения x обратно в исходное уравнение y = x^3 + 1, чтобы найти соответствующие y-координаты.
Для x = 1 получаем y = 1^3 + 1 = 2, и координаты точки касания K1: (1,2).
Для x = -1 получаем y = (-1)^3 + 1 = 0, и координаты точки касания K2: (-1,0).
6. Теперь у нас есть две точки касания K1(1,2) и K2(-1,0). Мы можем использовать эти точки, чтобы составить уравнения касательных.
Для K1(1,2): уравнение касательной будет иметь вид y – 2 = 3(1^2)(x – 1).
Преобразуем это уравнение: y – 2 = 3(x – 1) => y – 2 = 3x – 3 => y = 3x – 1.
Для K2(-1,0): уравнение касательной будет иметь вид y – 0 = 3((-1)^2)(x – (-1)).
Преобразуем это уравнение: y = 3(x + 1).
7. Для построения графика сначала нарисуем кривую y = x^3 + 1, а затем нарисуем касательные касательные: y = 3x – 1 и y = 3(x + 1).