Пусть d – это знаменатель геометрической прогрессии, а a – первый член.
Таким образом, доли сотрудников с аттестатами аудитора для каждого отделения можно представить следующим образом:
– для первого отделения: a, ad, ad^2, ad^3, …
– для второго отделения: 3a, 3ad, 3ad^2, 3ad^3, …
– для третьего отделения: 5a, 5ad, 5ad^2, 5ad^3, …
Из условия задачи мы знаем, что сумма процентов сотрудников с аттестатами аудитора по каждому отделению составляет 21% и 12% соответственно:
– 21% = a + 3a + 5a + …
– 12% = 4a + 2·4ad + 4ad^2 + …
Поделим оба уравнения на a:
– 0.21 = 1 + 3d + 5d^2 + …
– 0.12 = 4 + 8d + 16d^2 + …
Заметим, что в обоих уравнениях стоят геометрические прогрессии с одним и тем же первым членом, отличающимся только знаменателем. Используя известное свойство геометрической прогрессии, распишем каждое уравнение как сумму бесконечного ряда:
– 0.21 = 1 + 3d + 5d^2 + … = 1 + 3d + 5d^2 + 5d^3 + … = 1 + 2d(1 + 2d + 2d^2 + …)
– 0.12 = 4 + 8d + 16d^2 + … = 4 + 8d + 16d^2 + 16d^3 + … = 4 + 4d(2 + 4d + 8d^2 + …)
Теперь у нас есть два уравнения:
– 0.21 = 1 + 2d(1 + 2d + 2d^2 + …)
– 0.12 = 4 + 4d(2 + 4d + 8d^2 + …)
Мы можем заметить, что в скобках после 1 и 2d стоят суммы бесконечных геометрически проогрессий с первым членом 1 и 2d соответственно и с общим знаменателем равным d. Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, получаем:
– 0.21 = 1 + 2d([1]/[1-d]) = 1 + [2d/(1-d)]
– 0.12 = 4 + 4d([2]/[1-d]) = 4 + [8d/(1-d)]
Сократим дроби и приведем уравнения к общему квадратичному виду:
– 0.21 = 1 + [2d/(1-d)] <=> 0.79 = [2d/(1-d)]
– 0.12 = 4 + [8d/(1-d)] <=> -3.88 = [8d/(1-d)]
Решим это систему уравнений с помощью метода подстановки, выразив одну переменную через другую:
– Из первого уравнения выразим 2d/(1-d) = 0.79 => 2d = 0.79(1-d) => 2d = 0.79 – 0.79d => 2.79d = 0.79 =>
=> d = 0.79/2.79 ≈ 0.283
– Подставим полученное значение d во второе уравнение: -3.88 = [8d/(1-d)] => -3.88(1-d) = 8d => -3.88 + 3.88d = 8d =>
=> 3.88(1.54) = 11.88d => 11.88d = 3.88(1.54) => d = 3.88(1.54)/11.88 ≈ 0.503
Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии составляет примерно 0.283, а первый член составляет примерно 0.503. Можно заметить, что эти значения не полностью совпадают соотношениями 1:3:5 и 4:2:1, но они являются близкими к ним.